Question

sa se determine aria domeniului marginit , delimitat de parabola x=y -[tex] y^{2}
[/tex] si dreapata x+y =0

Answer 1

$\text{Functiile noastre sunt: }\\ \\ x = y -y^2~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow f(y) = y-y^2 \\ x+y = 0 \Rightarrow x = -y \Rightarrow g(y) = -y\\ \\ \text{Vrem sa aflam punctele intersectie dintre f si g}: \\ \\ \Rightarrow f(y) = g(y) \Rightarrow y-y^2 = -y \Rightarrow y^2-2y = 0\Rightarrow y(y-2) = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow y=0,~y=2 \Rightarrow \text{Marginile noastre sunt }[0,2]. \\ \\ \text{Acum avem marginile noastre si observam ca } f \geq g$$\text{peste regiunea noastra pentru [0,2]}\\ \\\text{Deoarece } f \geq g, \text{ adica f este deasupra lui g in sistemul nostru de coordonate} \\ \text{vom scadea in integrala pe g din f, adica, vom avea f(y) - g(y).} \\ \text{Acum putem sa formam integrala care ne va da valoarea ariei:} \\ \\ \Rightarrow \displaystyle A = \int_{y_1}^{y_2} \Big(f(y) - g(y) \Big) \, dy=\int_{0}^2 \Big((y-y^2) -(-y)\Big)\, dy = \\ \\ =\int_{0}^2(-y^2+2y)\, dy =-\dfrac{y^3}{3}\Big|_{0}^2 + 2\cdot \dfrac{y^2}{2}\Big|_{0}^2 = -\dfrac{8}{3}+4 =\boxed{\dfrac{4}{3}}$