Question

Sa se determine cel mai mic numar natural care are exact 20 de divizori.Exista un numar cu aceasta proprietate care sa fie cel mai mare?

Answer 1

numarul divizorilor naturali ai unui numar natural se determin astfel:
se descompune numarul in factori primi la diverse puteri, si apoi dunam 1 la fiecare exponent si ii inmultim.
ex:360 = 2^3 x 3^2 x 5, numarul divizorilor naturali N este:
N=(3+1)(2+1)(1+1)=24 divizori
pentru  gasi cel mai mic numar cu exact 20 de divizori, observam ca:
20=2 x 10
20=5 x 4 
cel mai mic numar presupunem sa alegem cele mi mici 2 numere prime, adica 2 si 3 (atentie! 1 nu e prim). cu acestea avem n:
n=2^9 x 3^1 ⇒ N=10 x2 =20 divizori
n=2^4 x 3^3 ⇒ N=5 x 4 = 20 divizori

acum trebuie sa alegem pe n cel mai mic

 n1=2^9 x 3 = 512 x 3 =1536
 n2=2^4 x 3^3 = 16 x 27=432 ⇒ n2<n1

numarul cel mai mare care are exact 20 de  divizori trebuie sa se descompuna in 2 factori primi la puterile 1 si 9 sau 3 si 4.
dupa cum stim multimea numerelor prime este infinita care contine numere prime f. mari care tind la infinit.

un exeplu ar fi 2 numere  prime 8971 si 8999
n=8971^4 x 8999^3 are exact 20 divizori dar mai putem gasii o infinitate de numere care satisfac ac. conditie sa sa fie f. mari.
deci raspunsul este ca nu putem explicita un mumar n cel mai mare cu 20 de divizori naturali.