Question

Sa se determine dreptunghiul de arie maxima inscris intr.un cerc de raza R.

Answer 1

Fie  cercul C(O,R) si  dreptunghiul  ABCD
Deoarece 
<B=90g=>AC diametru. AC=2R
Notam  Aria  dreptunghiului  cu  S
S=AB*BC/2
Tri  ABC=dreptunghic=> AB²+BC²=AC²
Fie  AB=x
x²+BC²=4R²
BC=√(4R²-x²)=>
S=x*√(4R²-x²) Deoarece  aria  depinde  de  x  o  vom considera   o   functie  de  x si  o  vom  nota  nota  S(x)  x∈(0,R)
S(x)=x*√(4R²-x²)
Determini  maximul  functiei  S(x) cu  ajutorul  derivatei
S `(x)=√(4R²-x²)+x*(-2x)/2√(4R²-x²)=[√(4R²-x²)²-x²]/√(4R²-x²)=
(4R²-2x²)/√(4R²-x²)
S `(x)=0=.
4R²-2x²=0=> x²=2R²  x=√2R  se  ia  in  considerare  numai  valoarea  pozitiva+
x=AB=√2R
Dar  BC=√(4R²-x²)=√(4R²-2R²)=R√2
AB=Bc=R√2
Dreptunghiul  este  un  patrat  cu  latura  R√2