Question

sa se determine functia f de gradul intai pentru care f(f(x))=2f(x) + 1
(50 de puncte)

Answer 1

depaseste materia normala de gimanziu, deoarece e cu compuneride functii
 rezolvare\ f(x) =functiede grad1 deci f(x) =ax+b
f(f(x)) = a(ax+b) +b= a²x+ab+b

2f(x) = 2(ax+b) =2ax+2b
atunci relatia din date devine
 a²x+ab+b=2ax+2b+1
aceast trebuie sa fie valabila ∀x∈R
deci identificam coeficientii termenilor in x si aui termenilor liberi (numere)

a²=2a⇒a²-2a=0
si
ab+b=2b+1

prima ecuartie are solutiile a=0 si a=2 ;
pt a=0 avem o functia constanta; nu ni s-a pus conditia ca a≠0,  asa ca vom analiza si acest caz
b=2b+1
b=-1

deci o functie ar putea fi functia constanta f(x) =-1
verificare f(f(x))=-1
2f(x)+1=2*(-1)+1=-1 verifica
dar aceasta nu este o functiede grad 1 propriu zisa

probabil solutia dorita este cea pt
 a=2
atunci
2b+b=2b+1
si b=1
  functia este deci f(x)=2x+1

verificare
f(f(x))
 f(2x+1)= 2(2x+1)+1=4x+3
2*f(x)+1= 2(2x+1)+1=4x+3
adevarat , bine rezolvat