Question

Sa se determine functia f:R--> R ,f(x)=(m-1)x^2+2mx+1,m diferit de 1, stiind ca este strict descresctoare pe intervalul (3,infinit)

Answer 1

Ca functia sa fie descrescatoare pe acel interval, trebuie sa fie, in primul rand, cocava (sa aiba "ramurile" in jos), astfel, pe ramura a doua sa fie descrescatoare.
==> Coeficientul bipatratic (in cazul nostru (m - 1) ) trebuie sa fie mai mic decat 0

m - 1 < 0 ==> m < 1

Noi stim ca pentru o functie concava, de gradul al doilea, aceasta este descrescatoare de la varf in dreapta. ==> Functia este descrescatoare DOAR pe intervalul [-b/a, ∞), unde -b/a este coordonata x a varfului parabolei.

Ni se cere ca functia sa fie descrescatoare pe intervalul (3, ∞), dar nu ni se spun alte informatii despre celalalt interval, asa ca:
TOT intervalul pe care functia este descrescatoare trebuie sa il INCLUDA pe cel din cerinta:


 (3, ∞) ⊂ [-b/a, ∞) ==> -b/a ≤ 3

 
(2m) / (m - 1) ≥ -3
(5m - 3) / (m - 1) ≥ 0

Dupa ce rezolvi acea inecuatie vei afla ca m ∈ (-∞, 3/5] ∪ (1, ∞), dar am sttabilit la inceput ca m < 1 ==> m ∈ (-∞, 3/5]