Question

Sa se determine functia f:R-->R, f(x)=m2x2-(m-1)x+1 supra x2+n , daca Gf intersecteaza Ox in punctul de abscisă 3, iar axa Oy in punctul de ordonata 1/2. ...

Answer 1

Enunț (pentru coerență !):

Să se determine funcția

$\it f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\ \ f(x) =\dfrac{m^2x^2+(m-1)x+1}{x^2+n}$,

 dacă Gf intersectează Ox în punctul de abscisă 3, iar axa Oy în punctul

 de ordonată 1/2.

R:

[tex]\it Gf\cap Oy = A\left(0,\ \dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow f(0) =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{n} =\dfrac{1}{2} \Rightarrow n = 2 \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow f(x) =\dfrac{m^2x^2+(m-1)x+1}{x^2+2}[/tex]

[tex]\it Gf\cap Ox =B(3,\ 0) \Rightarrow f(3) = 0 \Rightarrow \dfrac{9m^2+3m-2}{9+2} = 0 \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow 9m^2+3m-2=0 \Rightarrow 9m^2+6m-3m-2=0 \Rightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Rightarrow 3m(3m+2) -(3m+2) =0 \Rightarrow (3m+2)(3m-1)=0 \Rightarrow [/tex]

[tex]\it \Rightarrow \begin{cases} \it 3m+2=0 \Rightarrow m_1=-\dfrac{2}{3} \\\;\\ \it3m+1=0 \Rightarrow m_2 = \dfrac{1}{3}\end{cases}[/tex]

Problema admite două soluții :

[tex]\it f_1(x) = \dfrac{\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{5}{3}x+1}{x^2+2}=\dfrac{4x^2-15x+9}{9x^2+18} \\\;\\ \\\;\\ f_2(x) = \dfrac{\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{2}{3}x+1}{x^2+2}=\dfrac{x^2-6x+9}{9x^2+18} [/tex]

Observație :

Dacă impunem condiția strictă ca Gf să intersecteze Ox numai în punctul de

abscisă 3, atunci f₁ nu convine, iar problema are soluție unică.