Question

Sa se determine intervalele de monotonie ale funtiei f:R→R, stiind ca:
a) f(x)=-4x^{2} +12x-1
b) f(x)=\sqrt{3} x^{2} -\sqrt{6}x+1
c) f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{4}{3}x+1
d) f(x)=-3,5x^{2} +7x-2.5

Ajutor cu problema asta

Answer 1

pentru forma generala a unei functii de gradul 2

f=ax^2+bx+c

intervalele de monotonie se stabilesc simplu cu 2 parametri: a si -b/2a (coordonata pe Ox a varfului parabolei ce descrie functia)

daca a>0, functia este cu ramurile in sus si deci descreste de la ( - infinit , -b/2a) are un minim in -b/2a si apoi creste pe interbalul (-b/2a, + infinit)

daca a<0, functia este cu ramurile in jos si deci creste de la ( - infinit , -b/2a) are un maxim in -b/2a si apoi descreste pe interbalul (-b/2a, + infinit)

Analizam functiile date

f(x)=-4x^{2} +12x-1 a= -4 si -b/2a=-12/-8=3/2

deci functia creste pe (-infinit,3/2) si descreste pe (3/2, infinit) cu un maxim in x=3/2=-delta/4a (sau se poate afla inlocuind direct in expresia functiei!)

b) f(x)=rad3 x^{2} -rad6x+1 a=rad3>0 si -b/2a=rad6/2rad3=rad2/2

deci functia descreste pe (-infinit,rad2/2) si creste pe (rad2/2, infinit) cu un minim in x=rad2/2

c) f(x)=1/2x^{2}-4/3x+1 a=1/2>0 si -b/2a=4/3/2/2=4/3

deci functia descreste pe (-infinit,4/3) si creste pe (4/3, infinit) cu un minim in x=4/3

f(x)=-3,5x^{2} +7x-2.5 a= -3,5 si -b/2a= -7/-7=1

deci functia creste pe (-infinit,1) si descreste pe (1, infinit) cu un maxim in x=1