Question

Sa se determine inversa functiei bijective f : (0, +infinit) -> R , f(x) = x - 1/x

Answer 1

Daca $f(x)=y,\ atunci\ trebuie\ ca\ f^{-1}(y)=x$

Avem succesiv:
$y=x-\dfrac1x$

$xy=x^2-1$

$x^2-xy-1=0$ pe care o consideram ecuatie cu necunoscuta x;

$\Delta=y^2+4$

$x_{1,2}=\dfrac{y\pm\sqrt{y^2+4}}{2} \ si \ pentru\ ca\ x\in(0,+\infty), \ x=\dfrac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}$

Deci $f^{-1}(y)=\dfrac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}\ sau,\ cu\ variabila\ x,\ f^{-1}(x)=\dfrac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$ si $f^{-1}:\mathbb R\rightarrow (0;\infty)$