Question

să se determine m €R astfel încât x^2-(m-3)x+m-3>0, pentru orice x real

Answer 1

x^2-(m-3)x+m-3>0
Deoarece coeficientul lui x² este pozitiv (1 > 0), functia x^2-(m-3)x+m-3 este pozitiva in afara solutiilor si negativa intre solutii.
Pentru a fi pozitiva pentru orice x ∈ R trebue sa se indeplineasca unrmatoarele conditii:
Graficul functiei x^2-(m-3)x+m-3 trebuie sa nu intersecteze axa Ox
=> Ecuatia x^2-(m-3)x+m-3 = 0  trebuie sa nu aiba solutii reale
=> Δ < 0
=> (m-3)² - 4(m-3) < 0
Rezolvam ecuatia
m² - 6m + 9 - 4m + 12 = 0
m² - 10m + 21 = 0
m² - 3m - 7m + 21 = 0
m(m - 3) -7(m - 3) = 0
(m - 3)(m - 7) = 0

m1 = 3
m2 = 7
=> Δ < 0  daca m ∈ (3, 7)

=> x^2 - (m - 3)x + m - 3 > 0 daca m ∈ (3, 7)