Question

Să se determine m∈R, știind că parabola asociată funcției f:R→R, f(x)=x²-mx+m-1 este tangentă axei Ox.
Eu am încercat să o rezolv folosind vârful parabolei, dar m-am blocat. Este altă metodă? Cu derivate, poate?

Answer 1

da ,se poate face cu derivate

in general avem ax^2+bx+c , o functie de gradul 2

la noi a=1 >0 => functia seamana cu un U (indreptata cu vf. in jos)

ne zice ca este tangeta axei Ox , asta inseamna ca varful ( aka minimul) este pe Ox (1)

ca sa aflii minimul poti deriva

f'(x)=2x-m , si apoi egala cu 0

2x-m=0 => x_minim=m/2

acum ca avem x-ul pentru care functia este minima, trebuie sa respectam conditia (1)

f(X_minim)=0 , adica f(m/2)=0

inlocuind avem :
m^2/4-m^2/2+m-1=0
-m^2/4+m-1=0

rezolvi cum ai chef ecuatia de gradul 2 si observi ca ai radacina dubla pe
m1=m2=2

deci f(x)=x^2-2x+1 , care se poate restrange in (x-1)^2 si care e tangenta axei Ox

---------------------------------------------------
cu Yv si Xv faci in felul urmator

Yv=0 (varful se afla pe Ox) , adica -delta/4a=0, adica -(m^2-4m+4)/4=0
=> -[(m-2)^2]/4=0 si iti da m1=m2=2

Answer 2

Salut,

Dacă parabola asociată este tangentă axei OX, atunci înseamnă că punctul V (vârful parabolei) are valoarea pentru ordonată egală cu zero, adică vârful se află chiar pe axa OX.

-Δ/(4a) = 0, deci Δ = 0, sau (-m)² - 4·1·(m-1) = 0, sau m² - 4m + 4 = 0, sau (m-2)² = 0, deci m₁ = m₂ = 2.

Green eyes.