Question

Sa se determine mulțimea punctelor de acumulare pentru care A inclus în R si punctele de izolare ale acesteia!
Cazurile sunt imagine si astept rezolvare !​

Answer 1

Răspuns:

Spunem ca numarul a este Punct de acumulare pt multimea A daca exista o vecinatate a lui a , care nu-l contine pe a si care intersectata cu multimea A este diferita de multimea vida
Notam vecinatatea lui a cu V(a) si fiindca a nu-i apartinem scriem

V(a)-{a}

Deci A∩V(a)-{a}≠Ф

Concret
Fie a numarul cautat
Vecinatatea lui a(adica un interval care-l contine pe a), este

(a-e,a+e) unde e este un numar pozitiv, oricat de mic

V(a)-{a} =(a-e,a+e)-{a}=(a-e)U(a,a+e)

Ex 6 a

A=(2,5]

Se pune problema punctului de acumulare in capetele intervalui , si in interiorul acestuia

Fie a=2

V(2)=(2-e,2+e)

V(2)-{2}=(2-e, 2)U(2, 2+e)

Intersectam aceste intervale cu multimea A

(2,5]∩(2-e, 2)U(2,2+e)=(2,2+e≠Ф

a=2 punct de acumulare

Veificam a=5

V(5)-{5}=(5-e,5)U(5,5+e)

(2,5]∩(5-,e,5)U(5,5+e)=(5-e)≠∅=>

5 punct de acumulare

Fie 2<a<5 a punct interiot

V(a)=(a-e,a)U(a, a+e)

(2,,5]∩(a-e,a)U(a,a+e)=(a-e)U(a,a+e)≠∅=>

si punctele interioare sunt puncte de acumulare pt A

Deci multimea punctelor de acumulare este [2,5] se noteaza cu A ` si se numeste derivata lui A
b) (-2, 3)U(1,+∞)=(-2,+∞)

Verificam punctele de acumulare in capete , adica , in 2 si +∞

V(-2)-{-2}=(-2-e,-2)U(-2, -2+e)

(-2-e,-2)U(-2,-2+e)∩(-2,+∞)=(-2+e,+Ф)≠≠Ф

Deci -2 e punct de acumulare

Verificam capatul +∞

Se stie ca orice interval (a,+∞) estevecinatatev a lui +∞

Deci multimea (-2,+∞) este vecinatatre a lui +∞

Rezulta ca +∞este punct de acumulare pt multimea [-2,+∞)

Multimea derivata A`=[2,+∞]

nu exista puncte izolate

C){-1}U{1

Explicație pas cu pas: