Question

Sa se determine n ∈ N din egalitatea: 1 + 2 + 2² + 2³ + ...... + 2 la puterea n = 2047. 

Answer 1

Suma din membrul stang al egalitatii este suma primilor n+1 termeni ai unei progresii geometrice cu ratia q=2  si cu primul termen $a_1=1.$

Formula pentru suma primilor n termeni ai progresiei geometrice este:

$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}$. Folosind-o, egalitatea din enunt se poate scrie asa:

$\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}=2047\Rightarrow 2^{n+1}=2048\Rightarrow 2^{n+1}=2^{11}\Rightarrow n=10$.

Observatie: Suma din partea stanga a egalitatii date se poate calcula si cu cunostinte de clasa a V-a, astfel:

$S=1+2+2^2+2^3+...+2^n\Rightarrow$

[tex]S+1=2+2+2^2+2^3+...+2^n [/tex]

$S+1=2\cdot2+2^2+2^3+...+2^n$

$S+1=2^2+2^2+2^3+...+2^n$

$S+1=2\cdot2^2+2^3+...+2^n$

$S+1=2^3+2^3+2^4+...+2^n$

.........................................................

Si in final ajungem la $S+1=2^{n+1}\Rightarrow S=2^{n+1}-1$