Să se determine nr. reale x și y pt. care avem : x la patrat + 2x +y la patrat + 6 y +10 = 0
artur99:
Sigur ai scris corect? Nu mai aveai nimic pe lângă asta? Ecuația completă e: x² + 2x + y² + 6y + 10 = 0 ? Nu era împărțită în 2?
Aaah, sau da, am observat, greșeala mea, scuze :))
Deci știi cum se face?
Da, stai că nu pot pune răspunsul că îmi apare eroarea cu „Se pare că răspunsul tău conţine înjurături.” -_- Încerc să îmi dau seama acum de la ce cuvânt o fi :))
gata :))
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
1
x² + 2x + y² + 6y + 10 = 0
Încercăm să vedem cum am putea grupa ca să obținem o ecuație convenabilă, și observăm că se termenii se pot grupa ca 2 binoame extinse:
x² + 2x + y² + 6y + 1 + 9 = 0
x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 0
(x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) = 0
Acum am ajuns la cele 2 binoame extinse. Formula era:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Și bineînțeles, e valabilă și invers, adică:
a² + 2ab + b² = (a+b)²
În cazul nostru, în prima paranteză
a = x
b = 1
și ar fi:
x² + 2x + 1 = x² + 2*1*x + 1² = (x+1)²
La fel facem și pentru a doua paranteză, acolo:
a = y
b = 3
y² + 6y + 9 = y² + 2*3*y + 3² = (y+3)²
Așadar rezultă:
(x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) = 0
(x+1)² + (y+3)² = 0
Acum: avem suma a două paranteze ridicate la pătrat.
Știm că orice număr real ridicat la puterea a doua este întotdeauna pozitiv. Iar suma a 2 ast.fel de numere este tot pozitivă.
Doar că în cazul de mai sus vedem că suma acestor 2 numere este 0.
Suma a două numere ar putea fi 0 în cazul în care unul ar fi pozitiv și celălalt ar fi opusul lui, ex: 3 + (-3) = 0. Sau dacă ambele sunt 0. Alte cazuri nu prea sunt în care 2 numere reale să dea 0.
Doar că în cazul nostru știm că niciunul din cei 2 termeni nu poate fi negativ (pentru că numerele la pătrat nu sunt negative). De aici rezultă clar că cei 2 termeni ai adunării sunt ambii 0:
(x+1)² = 0
(y+3)² = 0
Aici știm că pătratul unui număr real este 0 doar dacă acel număr este 0.
(0² = 0)
din asta rezultă că:
x+1 = 0 și y + 3 = 0
de aici:
x = -1
y = -3
Facem și o verificare:
x² + 2x + y² + 6y + 10 = 0
(-1)² + 2(-1) + (-3)² + 6(-3) + 10 = 0
1 - 2 + 9 - 18 + 10 = 0
8 - 18 + 10 = 0
0 = 0
(A) :))
Încercăm să vedem cum am putea grupa ca să obținem o ecuație convenabilă, și observăm că se termenii se pot grupa ca 2 binoame extinse:
x² + 2x + y² + 6y + 1 + 9 = 0
x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 0
(x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) = 0
Acum am ajuns la cele 2 binoame extinse. Formula era:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Și bineînțeles, e valabilă și invers, adică:
a² + 2ab + b² = (a+b)²
În cazul nostru, în prima paranteză
a = x
b = 1
și ar fi:
x² + 2x + 1 = x² + 2*1*x + 1² = (x+1)²
La fel facem și pentru a doua paranteză, acolo:
a = y
b = 3
y² + 6y + 9 = y² + 2*3*y + 3² = (y+3)²
Așadar rezultă:
(x² + 2x + 1) + (y² + 6y + 9) = 0
(x+1)² + (y+3)² = 0
Acum: avem suma a două paranteze ridicate la pătrat.
Știm că orice număr real ridicat la puterea a doua este întotdeauna pozitiv. Iar suma a 2 ast.fel de numere este tot pozitivă.
Doar că în cazul de mai sus vedem că suma acestor 2 numere este 0.
Suma a două numere ar putea fi 0 în cazul în care unul ar fi pozitiv și celălalt ar fi opusul lui, ex: 3 + (-3) = 0. Sau dacă ambele sunt 0. Alte cazuri nu prea sunt în care 2 numere reale să dea 0.
Doar că în cazul nostru știm că niciunul din cei 2 termeni nu poate fi negativ (pentru că numerele la pătrat nu sunt negative). De aici rezultă clar că cei 2 termeni ai adunării sunt ambii 0:
(x+1)² = 0
(y+3)² = 0
Aici știm că pătratul unui număr real este 0 doar dacă acel număr este 0.
(0² = 0)
din asta rezultă că:
x+1 = 0 și y + 3 = 0
de aici:
x = -1
y = -3
Facem și o verificare:
x² + 2x + y² + 6y + 10 = 0
(-1)² + 2(-1) + (-3)² + 6(-3) + 10 = 0
1 - 2 + 9 - 18 + 10 = 0
8 - 18 + 10 = 0
0 = 0
(A) :))
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Chimie,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă