Question

sa se determine parametrii a si b din urmatoarea limita:
$\lim_{n \to \infty} ( \sqrt{ n^{2} +n+1} - \sqrt{ n^{2}+an+2 } )^{ \frac{bn^{2}+n}{n+1} } = \frac{1}{e}$

Answer 1

Parerea mea este ca nu poti gasi astfel de numere.
E doar o parere, nu pot sa garantez ca e corecta, dar uite care e rationamentul meu:

Cunoscand formula:  $\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$  ,

deducem ca la limita ta trebuie sa aiba loc, cumva, egalitatea:

$\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2+an+2}=1-\dfrac{bn^2+n}{n+1}$

Egalitatea asta ma duce cu gandul la egalitatea polinoamelor, unde coeficientii puterilor de acelasi fel trebuie sa fie egali.

Insa in cazul asta, nu se pot scoate "curat" polinoame de sub radicali, deci eu cred ca nu exista astfel de numere $a,b$ .

Totusi, daca simti ca ai chef de munca, poti ridica la patrat de vreo doua ori, pana scapi de radicali, apoi aranjezi frumos sub forma de polinom, dupa puteri, iar la urma, iti poti da seama daca intr-adevar exista aceste numere sau nu.