Question

Sa se determine probabilitatea ca alegand ,doua numere din multimea {0,1,2....9} cel putin un numar sa fie prim.
Am gasit mai multe rezolvari diferite pe net si nu stiu care este corecta.

Answer 1

Noi cautam multimile {a,b} unde a si b sunt cifre, cel putin unul prim. Cifrele prime sunt 2,3,5,7. Avem doua posibilitati: fie exact un singur element este prim, fie ambele sunt prime.

Cazul 1: Exact un numar este prim. Cum multimea {a,b} este totuna cu multimea {b,a}, pot spune ca a este prim. Atunci b nu este prim. Inseamna ca a poate lua 4 valori, iar pentru fiecare alegere a lui a, b va putea lua 6 valori. In total 4*6=24 multimi.

In caz ca nu e clar de ce vine 4*6:

Pentru a=2, b poate fi 0,1,4,6,8,9.

Pentru a=3, b poate fi 0,1,4,6,8,9.

Pentru a=5, b poate fi 0,1,4,6,8,9.

Pentru a=7, b poate fi 0,1,4,6,8,9.

Cazul 2: Ambele numere sunt prime. Aici exista un mic pericol care poarta denumirea de numarare de doua ori. In cazul anterior nu a existat acest pericol, pentru ca un numar era prim, iar celalalt nu, deci nu puteam numara nimic de doua ori. Ori aici, daca as aplica un rationament similar cu cel de la cazul 1, as putea numara multimea {2,3} de doua ori (o data pentru a=2 si b=3 ; si alta data pentru a=3 si b=2). Ca sa evit acest inconvenient, ma voi folosi de combinari: numarul de multimi este combinari de 4 luate cate 2, adica 6.

Deci numarul de cazuri favorabile este 24+6=30.

Numarul de cazuri posibile este combinari de 10 luate cate 2: 45.

P=30/45=2/3.

--------------------

Observatie: Referitor la numararea de doua ori. Daca toate elementele sunt numarate de doua ori, atunci nu e o problema, impartim la 2 si aflam numarul corect. Daca as fi aplicat acelasi rationament ca la 1, as fi spus:

Daca a=2, atunci b poate fi 3,5,7.

Daca a=3, atunci b poate fi 2,5,7.

Daca a=5, atunci b poate fi 2,3,7.

Daca a=7, atunci b poate fi 2,3,5.

(si astfel as fi numarat de fapt de doua ori fiecare multime)