Question

sa se determine restul impartirii numarului n = 198819881988.....1988 la 72 stiind ca n are 36 *k cifre unde k apatine numerelor natural nenule.

Answer 1

Un numar este divizibil cu 72, daca este divizibil cu 9 si contine cel putin 3 factori de 2 la descompunerea in factori primi.
Un numar este divizibil cu 9 daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.
Cati factori de 2 putem obtine la descompunerea numarului, putem determina dupa descompunerea numarului format din ultimele cifre a acelui numar incepand cu ultima cifra impara.

198819881988...1988 contine: 9k cifre de 1, 9k cifre de 9, si 18k cifre de 8.

"Suma cifrelor lui 198819881988...1988"=(1*9*k+9*9*k+8*18*k)=k(1*9+9*9+8*18)=k*234, 2+3+4=9 => k*234 e Multiplu de 9.

Acum determinam cati factori de 2 contine numarul, dupa cum am spus importante sunt ultimele cifre incepand cu ultima cifra impara, in cazul dat 988.
988:2=494, 494:2=247 - nu-l mai putem descompune in factori de 2 si am obtinut doar 2 fatori de doi.
Acum trebui sa gasim umatorul numar mai mic decat 988 pe care-l putem descompune in 3 factori de doi, si in acelasi timp sa fie multiplu de 9. Pentru asta mergem din 9 in 9 inapoi.

988-9=979 nu contine factori de 2 
979-9=970, 970:2=485 contine doar un factor de 2
970-9=961, nu contine factori de 2
961-9=952, 952:2=476, 476:2=238, 238:2=119, contine 3 factori de 2.
Deci orice numar de forma abcd...xyz952 (barat) contine 3 factori de 2.

198819881988...1988=198819881988...1952+36=(Multiplu de 72)+36 => restul impartirii este 36