Question

Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei log2 (x + 1) + log2 (x - 2) = 2.

Answer 1

Răspuns:

log₂(x+1)+log₂(x-2)=2

Pui conditiile de existenta a logaritmilor

x+1>>0   x> -1  x∈(-1,+∞)

x-2>0    x>2     x∈(2,∞)

x∈(-1,+∞)∩(2,∞)=(2,∞)

treci la rezolvare

log₂(x+1)+log₂(x-2)=2

log₂(x+1)(x-2)=2

(x+1)(x-2)=2²

x²+x-2x-2=4

x²-x-6=0

Δ=1+24=25

x1=(1-√25)/2=

(1-5)/2= -4/2= -2∉(2,∞) nu este solutie

x2=(1+5)/2=6/2=3∈(2,+∞)

x=3

Explicație pas cu pas:

Answer 2

$\ Condi\c{\it t}ii\ de\ existen\c{\it t}\breve a\ a\ ecua\c{\it t}iei :\\ \\ \\ \left.\begin{aligned}x+1>0 \Rightarrow x>-1\\ \\ x-2>0 \Rightarrow x>2\end{aligned}\right\}\Rightarrow domeniul\ de\ existen\c{\it t}\breve a\ este\ D=(2,\ \ \infty)$

$\it log_2(x+1)+log_2(x-2)=2 \Rightarrow log_2(x+1)(x-2)=2 \Rightarrow (x+1)(x-2)=2^2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2-2x+x-2=4 \Rightarrow x^2-x-6=0 \Rightarrow x^2-3x+2x-6=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x(x-3)+2(x-3)=0 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0 \Rightarrow \begin{cases}\it x-3=0 \Rightarrow x=3\in D\\ \\ \it x+2=0\Rightarrow x=-2 \not{\in} D\end{cases}$

Deci, ecuația dată admite soluția unică  x=3