Question

Sa se determine termenul general si ratia unei progresii aritmetice daca suma primilor n termeni este:
a)Sn=5n^2+3n
b)Sn=7n^2-5n
Dau coroana!

Answer 1

presupun ca n>0
a) Sn=5*n^2+3*n 
a1=a1,a2=a1+r, a3 =a2+r=a1+2*r....an=a1+(n-1)*r 
=> Sn= a1+a2+...+an =a1 +(a1+r) +...+( a1+ (n-1)*r ) =
          =n*a1 +r*(1+2+3+... + n-1)=n*a1 +r*( (1+n-1) *(n-1) /2 )=
          =n*a1 +r*n*(n-1)/2= (2*n*a1 +r*n^2 -r*n)/2 =(n*(2*a1-r) +n^2 *r)/2
     =>(n*(2*a1-r) +n^2 *r)/2 =5*n^2+3*n =>
=>n*(2*a1-r) +n^2 *r=10*n^2 +6*n =>r= 10 si (2*a1-r) =6 => 2*a1=16=> a1=8
=> an=a1+(n-1)*r =8+ (n-1)*10 = 10*n -2

b)
suma este la fel
 Sn= a1+a2+...+an =a1 +(a1+r) +...+( a1+ (n-1)*r ) =
          =n*a1 +r*(1+2+3+... + n-1)=n*a1 +r*( (1+n-1) *(n-1) /2 )=
          =n*a1 +r*n*(n-1)/2= (2*n*a1 +r*n^2 -r*n)/2 =(n*(2*a1-r) +n^2 *r)/2
=>
(n*(2*a1-r) +n^2 *r)/2 = 7*n^2 -5*n=>n*(2*a1-r) +n^2 *r=14*n^2-10*n =>
=> 2*a1-r= -10 si r=14 => 2*a1-14 +10 =0 => 2*a1=2=>
an=a1+(n-1)*r => an=2 +(n-1)*14=14*n-12

Answer 2

a.           daca  n =1         avem  S₁ = a₁ = 5 ·1² + 3 · 1 = 8 
                        n =2                     S₂ =a₁ + a₂ = 5 ·2² + 3 · 2  = 26 
                                      deci  :         a₁ + a₂ =26 
                                       si          a₂ =26 - a₁ = 26 - 8 =18 
                                 dar  ratia r = a₂  -a₁ = 18  - 8 = 10 
      termenul  general  a(n) = a₁ + ( n -1)·r = 8 + 10 ·( n -1)