Sa se determine toate functiile injective f:R-R care satisfac relatia:
f(x+y)+f(0)=f(f(x)+y),oricare ar fi x,y apartine lui R.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
2
fie f(x) = ax +b , functie injectiva pentru orice a≠ 0
a( x+y) +b + b= f( ax+b +y)
ax+ay+2b= a( ax+b+y) +b
ax+ay +2b= a²x +ab+ay +b
ax + ay +2b= a²x + ay +( ab +b) ⇒ consideram x , y dat , calculam a,b
x: a=a² ⇒ a=0 fals , a=1
y: a=a
liberi : 2b= b+b ⇒ 2b=2b , adevarat oricare ar fi b∈R
f(x) = x+b
a( x+y) +b + b= f( ax+b +y)
ax+ay+2b= a( ax+b+y) +b
ax+ay +2b= a²x +ab+ay +b
ax + ay +2b= a²x + ay +( ab +b) ⇒ consideram x , y dat , calculam a,b
x: a=a² ⇒ a=0 fals , a=1
y: a=a
liberi : 2b= b+b ⇒ 2b=2b , adevarat oricare ar fi b∈R
f(x) = x+b
Stim ca o functie numerica este injectiva daca orice paralela la axa Ox printr-un punct al codomeniului taie graficul functiei in cel mult un punct. Ori la raspunsurile a) si f) avem doua functii de grad doi pe R al caror grafic este o parabola,deci ducand o paralela la axa Ox printr-un punct al codomeniului va taia graficul functiei in 2 puncte, cu exceptia varfului parabolei. Deci functiile f(x)=x2 si f(x)= x^2+c , oricare ar fi x apartine lui R si c=constant nu sunt injective.
Alte întrebări interesante
Matematică,
8 ani în urmă
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Limba română,
9 ani în urmă
Engleza,
9 ani în urmă
Deci ce mai ramane ? Sa studiem cazul functiei de gradul intai care este strict monotona pe R, deci este injectiva pe R.In concluzie tot ce ati facut este bine ,raspunsul fiind f(x)=x+c, c =constanta