Question

Să se determine toate funcțiile reale f(x) astfel incat sa aiba loc relatia:
$f(f(x)+y)-2y=f(f(-y)-2x)+3x$
Pentru orice x,y numere reale.

Answer 1

Răspuns:

f(x)=x+c, c∈R

Explicație pas cu pas:

Pentru x=y=0, avem:

f(f(0))=f(f(0))

Ceea ce implica:

f(0)=f(0), de unde rezulta ca f(0) e orice numar real.

Pentru x=0 avem:

$f(f(0)+y)-2y=f(f(-y))$

Vom considera f(0)=0 din toate valorile reale pe care le poate lua acesta.

$f(y)-2y=f(f(-y))$

Vom schimba variabila prin subsitutitia y=-t.

$f(-t)+2t=f(f(t))$

Pentru y=0 in ecuatia initiala, avem:

$f(f(x))=f(f(0)-2x)+3x$

Alegem f(0)=0 si schimbam variabila x=t.

$f(f(t))=f(-2t)+3t$

Acum, consideram cele doua ecuatii obtinute mai devreme:

$f(-t)+2t=f(f(t))$

$f(f(t))=f(-2t)+3t$

Vom egala expresiile atribuite pentru f(f(t)), adica:

$f(-t)+2t=f(-2t)+3t$

Substituim -t=t.

$f(t)-2t=f(2t)-3t$

$f(2t)-f(t)=t$

Substituim t=t/2

$f(t)-f(t/2)=t/2$

Substituind in continuare t=t/2 la inifinit, si adunand toate ecuatiile impreuna, vom obtine:

$f(t)-f(t/2)+f(t/2)-f(t/4)+f(t/4)-f(t/8).... -f(0)=t/2+t/4+t/8...$

Adica:

$f(t)-f(0)=t(1/2+1/4+1/8+1/16...)$

Deoarece $1/2+1/4+1/8+1/16.... = 1$ si $f(0)=c$, obtinem ca unica functie care satisface conditiilor initiale este:

$f(x)=x+c$

c- orice numar real.