Question

Sa se determine toate perechile de numere intregi (x,y) care satisfac relatia:
$5* x^{2} - 16*x*y + 13* y^{2} +2*|x-y|=2$
*Semnul "$*$" e o inmultire.

Answer 1

4x² -12xy+9y² +x² -4xy+4y² +2|x-y|=2

(2x-3y)² +(x-2y)² +2| x-y|=2

(2x-3y)² + (x-2y)²+2(x-y)-2=0

|2x-3y| + |x-2y| +2x-2y-2=0

-2x+3y-x+2y+2x-2y-2=0

3y-x-2=0
3y-x=2
-x=2-3y
x=3y-2

|2x-3y|=0           ∧          |x-2y|=0              ∧  2|x-y|=0
2x-3y=0                          3y-2-2y=0                 x-y=0
2(3y-2)-3y=0                    y-2=0                       3y-2-y=0
6y-4-3y=0                          y= 2                          2y-2=0
3y-4=0                               x=3*2-2                     2y=2
3y= 4                                 x=6-2=4                      y=1
y=4/3                                                                    x=3*1-2=3-2=1
=> x=3*4/3 -2= 4-2=2

S={(2;4/3);(4;2);(1;1)}