Question

sa se determine valoarea lui a∈r pentru care axa Ox intersecteaza graficul functiei

f:R->R,f(x)=(a+1)x²+3(a-1)x+a-1

Answer 1

Orice punct care se afla pe axa Ox are coordonata y=0. In cazul nostru, pentru ca acel punct este si pe graficul functiei avem y=f(x)=0. Asta inseamna ca trebuie sa aflam pe a astfel incat functia sa admita solutii pe intervalul de definitie, adica reale.
In acest caz, stim ca valoarea lui delta trebuie sa fie mai mare sau egal decat 0, adica
$\Delta=(3(a-1))^{2}-4(a+1)(a-1)=9(a-1)^{2}-4(a^{2}-1)=9a^{2}-18a+9-4a^{2}+4=5a^{2}-18a+13=5a^{2}-5a-13a+13=5a(a-1)-13(a-1)=(a-1)(5a-13)\geq 0$ ca ecuatia respectiva sa fie mai mare sau egal decat 0, atunci trebuie ca ambii factori sa aiba acelasi semn, adica sa fie ambii (-) sau (+)
In cazul in care ambii sunt negativi, inseamna ca a este mai mic decat radacina mai mica a celor 2 ecuatii. Cele 2 radacini sunt
$a-1=0\Rightarrow a_{1}=1$
$5a-13=0\Rightarrow a_{2}=\frac{13}{5}$ Cum 13/5 este 2,6, inseamna ca pentru a<1, ambele paranteze sunt negative, adica produsul lor e pozitiv
La fel, ambele paranteze sunt pozitive, daca a este mai mare decat radacina mai mare, adica a>13/5
deci solutia finala este
$a=(-Inf,1]\cup[{\frac{13}{5},inf)$