Question

Sa se determine valorile parametrilor a,b∈R, astfel incit:

$\lim_{n \to \infty} ( \frac{2x^{2} - x +3}{x-2} +ax+b)=6$

Ajutati-ma va rog cu rezolvarea

Answer 1

Salut,

După cum se vede în enunț, rezultatul limitei din enunț este unul finit.

Dacă aduci la același numitor, obții că:

$\dfrac{2x^2-x+3+ax^2-2ax+bx-2b}{x-2}=\dfrac{(a+2)x^2+(b-2a-1)x+3-2b}{x-2}$

Gradul numărătorului este 2 > 1 care este gradul numitorului. Dacă fracția ar rămâne cu această situație (gradul numărătorului > gradul numitorului), atunci limita ar fi cu siguranță infinită (+∞, sau -∞), ceea ce contravine enunțului, care se referă la o limită FINITĂ.

Deci trebuie să facem "ceva" ca gradul numărătorului să fie egal cu gradul numitorului. Cum nu putem nicicum crește gradul numitorului, singura șansă este să scădem gradul numărătorului, prin anularea coeficientului lui x²:

a + 2 = 0, deci a = -2. Înlocuim această valoare în expresia de mai sus:

$\dfrac{(b+3)x+3-2b}{x-2}$

Cum gradele sunt acum egale, este evident că valoarea limitei este câtul coeficienților lui x, adică (b + 3) / 1 = b + 3 = 6, deci b = 3.

a = -2 și b = 3.

Simplu, nu ? :-))).

Green eyes.