Question

Să se determine varful parabolei asociat functiei f: R --> R , f(x) = mx^2 + mx + p ce trece prin punctele A(2 , 0) , B(4 , 0) , C(0 , 3)

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

f: R --> R , f(x) = mx^2 + nx + p , graficul ei reprezintă o parabolă ce trece prin punctele A(2 , 0) , B(4 , 0) , C(0 , 3). Aceste puncte sunt de intersecție a parabolei cu axele de coordonate. Gf∩Ox ne dau punctele A și B, iar Gf∩Oy ne dă punctul C. Punem coordonatele lui C în funcție, ⇒f(0)=3, ⇒m·0²+n·0+p=3, ⇒ p=3.

Vîrful parabolei, asociat funcției date se află pe axa de simetrie ce trece este paralelă axei Oy și trece prin mijlocul segmentului AB, deci x=3 este abscisa vârfului parabolei. Aflăm coeficienții m și n din relațiile

f(2)=0, ⇒ m·2²+n·2+3=0, ⇒4m+2n+3=0    (1)

f(4)=0, ⇒ m·4²+n·4+3=0, ⇒16m+4n+3=0    (2)

Înmulțim (1) la (-2) și adunăm la (2), ⇒8m=3, deci m=3/8.

Înlocuim în (2), ⇒ 4n=-9, deci n=-9/4.

Deci funcția este

$f(x)=\dfrac{3}{8}x^{2}-\dfrac{9}{4}x+3.~~verificam~daca~x=3~este~abscisa~varfului\\x=-(-\dfrac{9}{4}):(2*\dfrac{3}{8})=\frac{9}{4}:\dfrac{3}{4}= \frac{9}{4}*\frac{4}{3}=3\\Aflam~ordonata~varfului,~y=f(3)=\dfrac{3}{8}*3^{2}-\dfrac{9}{4}*3+3=\dfrac{27}{8}- \dfrac{27}{4} +3=\dfrac{27-54+24}{8}=-\dfrac{3}{8} \\Deci,~~punctul~V(3;~-\frac{3}{8})~este~varful~parabolei.$

Answer 2

Răspuns:

f(x)=mx^2 + nx + p

cum ai scris tu cu m=n, NU MERGE, e o contradictie

V(3; f(3))= V(3;-3/8)

Explicație pas cu pas:

functia are zero-urile 2 si 4 si ordonata la origine 3

abcuisa varfului este intre radacini deci (2+4)/2=3

f(3)=0

f(4)=0

f(0)=3

16m+4n+3=0

4m+2n+3=0

16m+4n=4m+2n

8m+2n=2m+n

6m=-n

n=-6m

inlocuim in a doua

4m-12m+3=0

-8m=-3

m=3/8

n=-18/8=-9/4

f(x) =3x²/8-9x/4+3 care verifica cele 3v conditii

atuinci ]

f(3) =3*9/8-9*3/4+3=27/8-27/4-3=-27/8+3=-27/8+24/8=-3/8