Question

Sa se determine x real stiind ca numerele $2^{x}$ -1, $6^{x}$ , $3^{x}$ +1 sunt in progresie aritmetica. Rezolvarea completa, va rog!

Answer 1

Daca cele trei numere sunt in progresie aritmetica a0,a1,a2 de ratie r, atunci intre termeni consecutivi se afla aceeasi diferenta ra1=a0+ra2=a1+rAtunci r=a1-a0=a2-a1Folosing aceasta egalitate in cazul nostru$6^{x}-(2^{x}-1)=(3^{x}+1)-6^{x}\Rightarrow 6^{x}-2^{x}+1=3^{x}+1-6^{x}\Rightarrow 2^{x}+3^{x}=2*6^{x}$functiile acestea sunt strict crescatoare ambele, deci ecuatia are o singura solutie, care se poate observa ca este cea simpla: x=0.

Answer 2

$\displaystyle Numerele~2^x-1,~6^x~si~3^x+1~sunt~in~progresia~aritmetica \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow 2 \cdot 6^x=2^x-1 + 3^x+1 \Leftrightarrow 2 \cdot 6^x=2^x+3^x. \\ \\ Impartim~ultima~relatie~prin~3^x\ \textgreater \ 0,~si~obtinem: \\ \\ 2 \cdot \frac{6^x}{3^x}=\frac{2^x}{3^x}+ \frac{3^x}{3^x} \Leftrightarrow 2 \cdot 2^x= \left( \frac{2}{3} \right)^x+1 \Leftrightarrow \boxed{2^{x+1}= \left(\frac{2}{3} \right)^x+1}~. \\ \\ 2^{x+1}=functie~strict~crescatoare$

$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^x+1=functie~strict~descrescatoare \\ \\ Din~ultimele~doua~observatii~rezulta~ca~ecuatia~admite~cel~mult \\ \\ o~solutie. \\ \\ Deoarece~x=0~convine,~aceasta~este~si~unica~solutie.$