Question

Sa se determine z € C din egalitatile :
a) z/1+z + (conjugat de z/1+z)=1
b) 2+1-z/1-z € R​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

fie z=a+bi si z/(1+z)=c+di

atunci suma respectiva c+di+c-di==2c=1

c=1/2

Re (z/(1+z))=1/2

(a+bi)/(a+1+bi)=(a+bi) (a+1-bi)/((a+1)²+b²)

care are [partea reala

(a(a+1)+b²)/((a+1)²+b²)=

=(a²+a+b²)/(a²+2a+1+b²)=1/2

deci

2a²+2a+2b²=a²+2a+b²+1

adica

a²+b²=1

solutiile se afla pe cercul de raza 1 si centrul in orogine, din planul complex, mai putin -1, care anuleaza numitorul

cele mai simple si care verifica 1;i;-i

dezi z/(1+z)=1/2

2z=1+z

z=1∈R⊂C

b)(1-z+1+i)/(1-z)∈R

1+(1+i)/(1-z)∈R

(1+i)(1-z)∈R

(1-z)/(1+i)∈R

(1+z)(1+i)/2∈R

(1+z)(1+i)∈R

(a+1+bi)(1+i)∈R

parte imaginara , nula

i(a+1)+bi=0

a+b+1=0

a=a

b=-1-a

z=a - (a+1)i, a∈R

verificare

2+i-a+(a+1)i=2+2i

1-z= 1-a+(a+1)i=1+i

(2+2i)/(1+i)=2∈R, bine rezolvat