Question

Să se găsească un pătrat perfect de 6 cifre, astfel ca răstur- natul lui să fie pătrat perfect. ​

Answer 1

Cautam un numar palindrom, adica un numar al carui rasturnat este egal cu numarul initial

• Numarul poate fi de forma:

aabbaa

Rasturnatul lui: aabbaa

Ca un numar sa fie patrat perfect trebuie ca ultima cifra a numarului sa fie {0,1,4,5,6,9}

Dar a=0, nu se poate, fiind prima cifra a numarului

Ramane sa studiem a={1,4,5,6,9}

Stim ca un patrat perfect daca il impartim la 4 ne va da restul 0 sau 1

Criteriul de divizibilitate cu 4 ne spune ca ultimele 2 cifre trebuie sa se imparta exact la 4, dar in cazul nostru se accepta si restul 1

Astfel pentru a=1, vom avea ultimele 2 cifre, adica 11:4=2 rest 3, deci nu se poate

a=4, vom avea ultimele 2 cifre 44:4=11 rest 0

Ne ramane sa studiem 44bb44

Dar stim ca un patrat perfect este de forma 3k sau 3k+1

Adunam cifrele numarului: 16+2b={16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34}

b={0,1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica

a=5, vom avea ultimele 2 cifre 55:4=13 rest 3, nu se poate

a=6, vom avea ultimele 2 cifre 66:4=16 rest 2, nu se poate

a=9, vom avea 99:4=24 rest 3, nu se poate

• Numarul poate fi de forma:

abccba

• Rasturnatul lui: abccba

Stim ca ultimul numar al unui patrat perfect poate fi: {0,1,4,5,6,9}

Dar daca a=0, nu se poate, fiind prima cifra dintr-un numar

Deci avem de studiat:

• a=1

1bccb1

Stim ca un numar patrat perfect daca il impartim la 4 ne da restul 0 sau 1

Deci b poate fi={0,2,4,6,8}

Studiem:

b=0

Stim ca orice patrat perfect este de forma 3k sau 3k+1, adica restul impartirii la 3 este 0 sau 1

10cc01 trebuie sa fie de forma 3k sau 3k+1

Criteriul de divizibilitate cu 3: suma cifrelor numarului sa se imparta la 3, sau in cazul nostru restul poate fi 0 sau 1

Vom avea:

2+2c trebuie sa imparta la 3 sau restul sa fie 1

2+2c={6,7,9,10,12,13,15,16,18,19}

c={2,4,7,8}- niciun numar nu verifica

b=2

12cc21

6+2c={6,7,9,10,12,13,15,16,18,19,21,22,24}

c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica

b=4

14cc41

10+2c={12,13,15,16,18,19,21,22,24,25,27,28}

c={1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica

b=6

16cc61

14+2c={15,16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33}

c={1,2,4,5,7,8}-niciun numar nu verifica

b=8

18cc81

18+2c={18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34,36}

c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica

• a=4

4bccb4

b={0,2,4,6,8}

Studiem:

b=0

40cc04

8+2c={9,10,12,13,15,16}

c={1,2,4}-niciun numar nu verifica

b=2

42cc24

12+2c={12,13,15,16,18,19,21}

c={0,2,3}-niciun numar nu verifica

b=4

44cc44

16+2c={16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33}

c={0,1,3,4,6,7}-niciun numar nu verifica

b=6

46cc64

20+2c={21,22,24,25,27,28,30,31,33,34,36,37,39}

c={1,2,4,5,7,8}-niciun numar nu verifica

b=8

48cc84

24+2c={24,25,27,28,30,31,33,34,36,37,39,40,42}

c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica

• a=6

b={1,3,5,7,9}

6bccb6

b=1

61cc16

16+2c={16,18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34}

c={0,1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica

b=3

63cc36

18+2c={18,19,21,22,24,25,27,28,30,31,33,34,36}

c={0,2,3,5,6,8,9}-niciun numar nu verifica

b=5

65cc56

22+2c={24,25,27,28,30,31,33,34,36,37,39,40}

c={1,3,4,6,7,9}-niciun numar nu verifica

b=7

67cc76

26+2c={27,28,30,31,33,34,36,37,39,40,42,43}

c={1,2,4,5,7,8}-niciun numar nu verifica

b=9

69cc96

30+2c={30,31,33,34,36,37,39,40,42,43,45,46,48}

c={0,2,3,5,8,9}

Pentru c=8 vom avea:

698896=836²

Deci rasturnatul lui 698896 este chiar 698896 care este patrat perfect