Question

Sa se ortonormeze sistemul de vectori:
B={v1=(1,0,1),v2=(0,1,1),v3=(1,0,0)}

Answer 1

Asta e intrebare pentru anul 1 de facultate.

Se aplica procedeul Gram-Schmidt.

Mai intai se construieste o baza ortonormala, astfel:

$u_1=v_1=(1,0,1)$

$u_2=v_2+\alpha v_1$ cu conditia $<u_2,v_1>=0$

Dar  $<u_2,v_1>= <v_2,v_1>+\alpha <v_1,v_1> = 1+2\alpha=0,$

deci $\alpha=-1/2$. Rezulta ca

$u_2=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,0,1) =(-\frac{1}{2},1,\frac{1}{2})$

$u_3 = v_3 + \beta v_2 + \gamma v_1$ cu conditiile

$<u_3,v_1>=<u_3,v_2>=0$. De aici se obtine sistemul

$<v_3,v_1>+\beta <v_2,v_1> + \gamma <v_1,v_1> = 1+\beta+2\gamma = 0$

$<v_3,v_2>+\beta <v_2,v_2> + \gamma <v_1,v_2> = 2\beta+\gamma = 0$

Se obtine $\beta = \frac{1}{3},\gamma=-\frac{2}{3}$, de unde se calculeaza $u_3$.

Avem $||u_1|| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$ si definim

$w_1=\frac{u_1}{||u_1||} = (\frac{1}{\sqrt 2}, 0, \frac{1}{\sqrt 2})$

Similar, $w_2 = \frac{u_2}{||u_2||}, w_3=\frac{u_3}{||u_3||}$

Atunci $\{w_1,w_2,w_3\}$ este baza ortonormata cautata.