Question

Sa se rezolve :
1 / {x} = 1/x + 1/[x]

Answer 1

{x}:R->[0;1) crescatoare
1/{x}:(R\Z)->(1;∞) si e descrescatoare

1/x;R*->R*

1/[x];R\[0;1)->{+-1/k, k∈Z*}

studiind graficele functiilor de mai sus, (vezi atasamaent) observam ca eventualele solutii nu pot ficautate in R-, ptca acolo un termen, cel din dreapta,  este negativ si un termen, cel din stanga , este pozitiv
iar pe intervalul [0;1), [x]=0 deci expresia1/[x] nu are sens, asadar nici in acest interval nu vom cauta solutii
asadar vom cauta doar in R+\Z, pt ca in Z, partea  1/[x] nu este definita

pt x>3, 1/{x}>1, iar 1/x <1/3 si 1/[x]=1/2 deci 1/x+1/[x]<1/3+1/2=5/6 , asa dar nici aici nu vom cauta solutii
se vede si grafic cum scad si 1/x si 1/[x] sub 1/2 fiecare

vom cauta solutii deci doar in intervalele (1;2) si (2;3)
pt x∈(1;2)

1/(x-[x])=1/x+1
1/(x-1)=1/x+1
1/(x-1)=(x+1)/x
x²-1=x
x²-x-1=0
x=(1+-√5)/2
convine x=(1+√5)/2  ffffffff intersant ceva cu proportia de aur, cred


pt x∈(2;3)
1/(x-2)=1/x+1/2

1/(x-2)=(x+2)/2x
x²-4=2x
x²-2x-4=0
x=(2+-√(4+16))/2=(2+-√20)/2=(2+-2√5)/2=(1+-√5)
verificam doar solutia pozitiva
1+√5 ∉(2;3)



deci singura solutie, proportia de aur
x=(1+√5)/2 
de unde probabil a si fost luata ecuatia si scrisa algebric, n-ar mai fi fost...

 
 

Answer 2

Este foarte buna rezolvarea lui AlBatran. Eu ma gandisem la o rezolvare algebrica. Partial, rezolvarile noastre coincid
Stiind ca:
${{x}}=x-[x]$ atunci
$\frac{1}{x-[x]}=\frac{1}{x}+\frac{1}{[x]}=\frac{x+[x]}{x[x]}\Rightarrow (x+[x])(x-[x])=x[x]\Rightarrow x^{2}-[x]^{2}=x[x](1)\Rightarrow x^{2}-x[x]-x^{2}=0$
stim ca pentru x<0 atunci avem
$|x|<|[x]|\Rightarrow x^{2}<[x]^{2}$
De exmplu daca x=-4.2 atunci [x]=-5. Deci |[x]|>|x| si atunci [x]^{2}>x^{2}
Asta inseamna ca in ecuatia din (1) avem
$x^{2}-[x]^{2}<0$ de cealalta parte a ecuatiei avem
$x[x]>0$ pentru ca x si [x] au acelasi semn.
Deci inseamna ca nu pot sa fie egale, atunci cand x<0
Apoi, putem observa ca diferenta dintre cele 2 patrate nu poate fi mai mare decat 1, pentru ca diferenta dintre x si [x] este mai mica decat 1, si atunci si patratele lor vor avea diferenta mai mica decat 1
$x^{2}-[x]^{2}<=1$ atunci trebuie si ca
$x[x]\leq 1\Rightarrow x\leq \frac{1}{[x]}$ daca partea intreaga este mai mare decat 1, atunci inseamna ca x ar fi mai mic decat 1.
Dar daca x mai mic decat 1, atunci inseamna ca [x]=0, ceea ce evident este imposibil.
Ajungem la relatia
$0<[x]<=1$ atunci rezulta clar ca [x]=1.
Inlocuind in ecuatia de gradul 2 obtinem
$x^{2}-x-1=0$ si de aici ajungi la solutia lui albatran.