Question

Să se rezolve ecuatia 2^x + 9^x=5^x + 6^x

Answer 1

Fie funcţia $f(t)=t^{x} , f:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty).$
Ecuaţia dată se mai scrie $f(9)-f(6)=f(5)-f(2),$ sau, echivalent, $\frac{f(9)-f(6)}{9-6}=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}.$
Aplicăm acum teorema lui Lagrange pe intervalele [6,9] şi [2,5]. Egalitatea precedentă devine
$f^{\prime}(c_1)=f^{\prime}(c_2),$ unde $c_1\in [6,9],\,c_2\in [2,5],$ sau $xc_1^{x-1}=xc_2^{x-1}.$

Deducem că $x=0$ sau $x=1.$