Question

Să se rezolve ecuația diferțială:2xyy'=y^2-4x^2

Answer 1

Explicație pas cu pas:

Să se rezolve ecuația diferențială ordinară

$2\frac{y}{x}y'=\left(\frac{y}{x}\right)^2-4$

care este echivalentă cu EDO originală.

În primul rând să se considere substituirea $z=y/x$, de unde $y=xz$, vine $y'=z+xz'$. Ecuația se reduce la forma următoare:

$2z(z+xz')=z^2-4$,

sau

$\underbrace{(z^2+4)}_{M}+\underbrace{2xz}_{N}z'=0$.

$\partial_z M=2z$,

$\partial_x N=2z$,

adică, $M+Nz'=0$ este o EDO exactă. înseamnă că există $\Phi=\Phi(x,z(x))$, în așa fel încât

$\partial_x\Phi=M$ și $\partial_z\Phi=N$.

Deci

$\Phi=\int M dx= xz^2+4x+h(z)$.

Mai departe, derivăm această expresie, în relație cu $z$ (care este egală cu $N$). În felul următor

$2xz+h'(z)=2xz$, de unde se conclude că funcția $h$ este constantă. Soluția generală a EDO originală, luând în cont că $z=y/x$, este dată prin următoare expresie implicită:

$y^2/x+4x=c$, $(c\in\mathbb{R})$.