Question

Sa se rezolve ecuatia:
$2\sqrt{x-2}=log_{\frac{1}{4}}(x-2)$

Answer 1

2*√(x-2)=log(1/4) din (x-2) |:2   , DVA: x-2>0⇒x∈(2,+∞)

√(x-2)=1/2*log(1/4) din (x-2)

√(x-2)=log(1/4) din √(x-2)

Conform monotoniei functiei logaritmice cunoastem ca:

log(a) din b daca 0<a<1 si b>1 atunci functia este strict descrescatoare

iar daca 0<b<1 atunci ea este crescatoare;

in cauzul dat avem √(x-2)>0⇒ x>2 (1)

si √(x-2)<1⇒x-2<1⇒x<3 (2)

x∈(1)∩(2)⇒x∈(2,3)

Cunoastem ca functia logaritmica este o functie injectiva,

prin probe vom avea x=9/4

verificam:

√(9/4-2)=log(1/4) din √(9/4-2)

√(1/4)=log(1/4) din √(1/4)

1/2=log(1/4) din (1/4)^(1/2)

1/2=1/2

Raspuns: x=9/4

Bafta!!