Question

Să se scrie sub formă trigonometrică numărul: $\frac{ \sqrt{2} }{2} + \frac{i}{2}$

Answer 1

Salut,

Numărul complex din enunţ de forma a+bi, îl are pe $a=\dfrac{\sqrt2}{2}$ şi pe b=1/2. Ştim că a este coordonata x şi b este coordonata y în sistemul de axe ortogonal în care poate fi reprezentat numărul complex.

Cum a>0 şi b>0, punctul care de fapt este imaginea geometrică a numărului complex a+bi se află în cadranul I (unu) a sistemului de axe menţionat. Deci unghiul format de dreapta ce uneşte originea sistemului cu punctul de coordonate (a,b) are mărimea între 0 şi 90 de grade.

Ştim că:

$a+bi=r\cdot(cos\alpha+i\cdot sin\alpha),\;unde\;r=\sqrt{a^2+b^2},\;iar\;tg\alpha=\dfrac{b}{a}\to \alpha=arctg\dfrac{b}{a}+k\cdot\pi.$

Deci:

$r=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt3}{2}.$

Apoi:

$\alpha=arctg\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt2}{2}}\right)+k\cdot\pi=arctg\dfrac{\sqrt2}{2}+k\cdot\pi=arctg\dfrac{\sqrt2}{2},\;k=0,\;vezi\;cadranul\;I.$

La final:

$\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{i}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\left[cos\left(arctg\dfrac{\sqrt2}{2}\right)+i\cdot sin\left(arctg\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\right].$

Simplu, nu ? :-).

Green eyes.