Question

Sa se studieze bijectivitatea functiilor:

a) f:[-7,3] ---> [-1,5] , $f(x)=\frac{4x-5}{5}$

b) $f:[\frac{4}{3},\infty) ----\ \textgreater \ f(x)=3x^2-4x+5$

Va rog explicatie clara si detaliata. Am nevoie sa inteleg importanta domeniului si a codomeniului in stabilirea limitelor pe grafic.

Answer 1

a)$f(x)= \frac{4}{5}x-1 \\ \hbox{f este o functie liniara, deci are graficul o dreapta} \\ \hbox{Asadar f este o functie monotona (coeficientul lui x este pozitiv} \\ \hbox{deci functia e strict crescatoare), deci e injectiva.}$Pentru surjectivitate ne folosim de domeniul de definitie si de codomeniu. Fiind liniara crescatoare, verificam daca minimului din domeniul de definitie ii corespunde minimul din codomeniu si daca maximului din domeniul de definitie ii corespunde maximul din codomeniu (daca era descrescatoare, erau vice-versa, adica maximului din domeniu ii coresp minim din codom respectiv minimului ii coresp max).Observam ca nu este respectata aceasta conditie, deci functia nu este surjectiva, deci nu e bijectiva.b)Avem de a face cu o functie de gradul 2 deci graficul este o parabola. Varful are abscisa 4/6. Pentru x < 4/6 functia este descrescatoare, pentru x mai mare ca 4/6 functia e crescatoare (se verifica dand valori). Pentru ca functia sa fie injectiva, trebuie ca domeniul de definitie sa se cuprinda DOAR in unul dintre aceste 2 intervale.  4/3 > 4/6 deci domeniul de definitie este cuprins doar in intervalul pe care functia este crescatoare, deci e injectiva. Pentru surjectivitate, asemanator cu punctul a) verificam, fiind o functie crescatoare pe intervalul studiat, daca minimului din domeniu ii corespunde minimul din codom, si daca maximului din domeniu ii corespunde maximul din codom.Se observa ca aceasta conditie este indeplinita, deci functia este surjectiva. Deci functia este bijectiva.