Question

Sa se verifice daca functiile urmatoare sunt surjective:
a) f:R-->R,f(x)=2x+5
b) f:R-->R,f(x)=-5x+2
c) f:[0,+infinit)-->[3,+infinit),f(x)=2x+3
d) f:R\{-1}-->R,f(x)=1-x/1+x

Answer 1

c) f(x) este  o functie  crescatoare  pt  ca  a=2>0=>
f(0)=2*0+3=3  este  valoarea  minima.Deci  f(x)>3 ∀x>3 Asadar
f([0 ,∞))=[3 ,∞)
Deci  Imf=codomeniu=[3 ,∞)  Imf=multimea  valorilor  functiei
f=surjectiva
a)  poti  sa  invoci  proprietatea  de  surjectivitate  a    functiei  de grd    1  sau  rezolvi  ecuatia  f(x)=y  si  observi  ca  are  cel  putin  o  solutie.
2x+5=y=> x=(y-5)/2  > ecuatia  are  cel  putin  o  solutie  pe  R  (nu  sunt  restrictii    pt  y)  .Deci  f  surjectiva
b) analog 
f(x)=y
-5x+2=y  x=(y-2)/(-5)=(2-y)/5...
 d) Vei  demonstra  ca  Imf=codomeniul
x≥1  1-x≤0.  1+x>0  =>f(x)<0 (rport  intre  un  nr  negativ  si  unul  pozitiv)
x∈[0 ,1] 1-x≥0  (1+x>0 f(x)∈[0,1] Pt  ca  1+x>1-x
x<-1    1-x>0    1+x<0  f(x)<0
x∈(-1,0)  (1-x)>0  1+x>0 f(x).>0, f(x)>1 pt  ca  numaratorul  >  numitorul  Ex  x=-0,5  f(-0,5)=(1-(-0,5))/(1-0,5)=1,5/0,5=3>1  =>  f(x)∈(1 ,∞)
Imf=(-∞,0)U[0,1]U(1,∞)=R=>
Imf+codomeniul=>  f  surjectiva