Question

Salut! Cum pot afla elementele unei functii de gradul II stiind imaginea functiei? In plus, nu ma descurc atunci cand functia are forma unei fracții (am atasat mai jos exercitiul). Multumesc pentru ajutor!

Answer 1

Răspuns:

Notăm $f(x)=y$. Adică

$\displaystyle\frac{ax^2-bx+1}{x^2+1}=y\Rightarrow (a-y)x^2-bx+1-y=0$

Ecuația în x trebuie să aibă rădăcini reale, deoarece funcția este definită pe R. Atunci $\Delta\ge 0$.

$\Delta= -4y^2+4y(a+1)+b^2-4a\ge 0$

$\Delta_y=16((a-1)^2+b^2)$

$y_1=\displaystyle\frac{a+1-\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}, \ y_2=\frac{a+1+\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}$

Atunci $y\in \left[y_1,y_2\right]$. Deci imaginea funcției este intervalul $[y_1,y_2]$.

Atunci

$\displaystyle\frac{a+1-\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}=-\frac{1}{2}\\\frac{a+1+\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}=\frac{5}{2}$

Adunând egalitățile rezultă $a=1$ și înlocuind pe a se obține $b=\pm 3$

Explicație pas cu pas: