Question

Salut! Mă poți ajuta cu acest exercițiu?
1.Se consideră f: R->R, f(x)=e^x+2014e^(-x).
a) Calculați f(x)+f'(x)+f''(x)+....+f^(2015) de x.
b) Determinați punctele de extrem ale funcției.​

Answer 1

f(x) = eˣ + 2014•e⁻ˣ

f'(x) = eˣ - 2014•e⁻ˣ

f''(x) = eˣ + 2014•e⁻ˣ

=> f(x) + f'(x) = 2eˣ |''

=> f''(x) + f'''(x) = 2eˣ

... etc

E = f(x) + f'(x) + f''(x) + ... + f⁽²⁰¹⁴⁾(x) +

f⁽²⁰¹⁵⁾(x)

Observăm că perechile consecutive care pornesc cu derivată pară și se termină cu derivată împără sunt 2eˣ.

=> f⁽²⁰¹⁴⁾(x) + f⁽²⁰¹⁵⁾(x) = 2eˣ

E = 2eˣ + 2eˣ + 2eˣ + ... + 2eˣ

de {(2015+1)/2 = 1008 ori}

E = 1008•2eˣ

E = 2016eˣ

Punctele de extrem:

f'(x) = eˣ - 2014•e⁻ˣ = 0

Notez eˣ = t => t - 2014/t = 0 =>

=> t² - 2014 = 0 => t² = 2014 =>

=> t = ±√2014 => eˣ = ±√2014 =>

=> x = ln(√2014) =>

=> x = [ln(2014)]/2

singurul punct de extrem.