Question

Salut, ma puteti ajuta la aceasta integrala...?

$\int\limits^1_0 { \frac{1+ x^{2} }{1+ x^{2} + x^{4} } } \, dx$

Am incercat sa o desfac insa nu-mi iasa...

Answer 1

numitorul se scrie x^4+x²+1=(x²+1)-x²=(x²-x+1)(x²+x+1)

Incercam sa scriem fractia ca suma de fractii:

(x²+1)/(x²-x+1)(x²+x+1)=(Ax+B)/(x²-x+1)+(Dx+C)/(x²+x+1)

Aducand la acelasi numitor si egaland cu x²+1 am obtinut A=-1/2, B=1/2, C=1/2, D=1/2

(Ax+B)/(x²-x+1)= -1/2*(x-1)/(x²-x+1)= -1/4*(2x+1+1)=-1/4*[(2x+1)/(x²-x+1)+1/(x²-x+1)] si la integrare

∫-1/4*[(2x+1)/(x²-x+1)+1/(x²-x+1)]= -1/4[ ∫2x+1/(x²-x+1)+∫1/(x²-x+1)= -1/4[ln(x²-x+1)+I1

I1=∫1/(x²-x+1)dx scriind pe x²-x+1=(x+1)²-3x=(x+1-x√3)(x+1+x√3)

Procedam la descompunerea in d fractii cu numitor de grad 1, care au integrala tot ln

La fel se procedeaza si cu descompunerea

∫Dx+C/(x²-x+1)=1/2*∫(x+1)/(x²-x+1)

Mai departe doar calcul!!!