Question

Salut . Va rog frumos ajutati-ma si pe mine la problema asta la mate :


(a²+b²+c²) / 3 > [ (a + b + c) / 3 ]²

Answer 1

(a²+b²+c²) / 3 > [ (a + b + c) / 3 ]²
(a²+b²+c²) / 3 >(a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac)/9  (amplifici prima fractie cu 3 si elimini                                                                                                             numitorul)
3a²+3b²+3c²>a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac 
2a²+2b²+2c²>2ab+2bc+2ac  
a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ac+a²>0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²>0  (A)
Cum fiecare parenteza e mai mare ca 0 si o suma de numere pozitive este,cu siguranta ,mai mare ca 0 => ca este adevarat

Answer 2

Voi aborda problema "de la sfarsit la inceput", adica voi prelucra ceea ce avem de demonstrat, pana voi ajunge la ceva adevarat:

$\frac{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }{3} > ( \frac{a+b+c}{3} )^{2}$

$\frac{ a^{2} + b^{2} + c^{2} }{3} > \frac{ (a+b+c)^{2} }{9}$

$3*(a^{2} + b^{2} + c^{2})> (a+b+c)^{2}$

Efectuam calculele in membrul drept:


$3*(a^{2} + b^{2} + c^{2})> a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2*(a*b + a*c + b*c)$

Scadem din ambii membri ($a^{2} + b^{2} + c^{2}$)

$2*(a^{2} + b^{2} + c^{2})> 2*(a*b + a*c + b*c)$

Folosim inegalitatile evidente:

$(a-b)^{2} >0$

adica

$a^{2} +b^{2} - 2*a*b >0$

si trecand in membrul drept 2*a*b obtinem:

$a^{2} +b^{2} > 2*a*b$    (rel 1)

Analog, din $(a-c)^{2} >0$  si $(b-c)^{2} >0$ obtinem:

$a^{2} +c^{2} > 2*a*c$    (rel 2)
respectiv:
$b^{2} +c^{2} > 2*b*c$    (rel 3)

Adunam membru cu membru relatiile (1), (2) si (3) si obtinem exact:

$2*(a^{2} +b^{2} + c^{2})> 2*(a*b + a*c + b*c)$

(q.e.d.)