Question

Se considera 2 cercuri C1 (O1)si C2(O2) tangente exterior in T.AB este o tangenta exterioara comuna(A apartine C1,B apartine C2),iar M este intersectia perpendicularei in T pe O1 O2. (FIG. 18)

a) Arătați ca M este mijlocul lui AB
b) Demonstrați că dreptele MO1 și MO2 sunt perpendiculare

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

O₁A ⊥ AB => ∢MAO₁ = 90°

MT ⊥ O₁T => ∢MTO₁ = 90°

O₁A ≡ O₁T (raze în cerc)

=> ΔMAO₁ ≡ ΔMTO₁ => MT ≡ MA (1)

O₂B ⊥ AB => ∢MBO₂ = 90°

MT ⊥ O₂T => ∢MTO₂ = 90°

O₂B ≡ O₂T (raze în cerc)

=> ΔMBO₂ ≡ ΔMTO₂ => MT ≡ MB (2)

din (1) și (2) => MA ≡ MB => M este mijlocul segmentului AB

b)

din a) =>

∢MO₁A ≡ ∢MO₁T => m(∢MO₁T) = ½×m(∢AO₁T)

∢MO₂B ≡ ∢MO₂T => m(∢MO₂T) = ½×m(∢BO₂T)

O₁A ⊥ AB și O₂B ⊥ AB => O₁A || O₂B

=> m(∢AO₁T)+m(∢BO₂T) = 180° (unghiuri suplementare)

½×m(∢AO₁T)+½×m(∢BO₂T) = 180°

=> m(∢AO₁T)+m(∢BO₂T) = 90°

în ΔO₁MO₂ => m(∢O₁MO₂) = 90°

=> MO₁ ⊥ MO₂

q.e.d.