Question

se considera 2013 numere naturale nedivizibile cu 3.Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013.

Answer 1

Daca numerele nu sunt divizibile cu 13 sunt de forma: 

Caz 1: a= 3n+1 => a²=9n²+6n+1 = 3(n²+2n) +1 = 3*m+1

sau Caz 2:  a=3n+2 =>  a²=9n²+12n+4 =9n²+12n+3+1=3(n²+4n+1) +1=3*p+1

Daca adunam cei 2013 numere gen a² , vom avea indiferent cate sunt in cazul 1, sau in cazul 2: 
 Suma=3*( m+p+......)+1*2013 =3*(m+p+...)+3*671=3*[(m+p)+671]  este divizibila cu 3.

Answer 2

inceraca a=3*n+1 sau a=3*n+2, atunci a la patrat = 3*m+1 
Caz1) n=3*c+1 => n^2=(3*c+1)(3*c+1) => n^2=9*c^2+6*c+1 => n^2=3*(3*c^2+2*c)+1
Caz2) n=3*c+2 => n^2=(3*c+2)(3*c+2) => n^2=9*c^2+12*c+4 => n^2=3*(3*c^2+4*c+1)+1
N1^2=3*C1+1
N2^2=3*C2+1
N2013^2=3*C2013+1 
obtinem ca N1^2+N2^2+ ... +N2013^2=3*(C1+C2+ ... +C2013)+2013*1=3*(C1+C2+ ... +C2013+671).
Asadar, suma patratelor a 2013 nr. naturale nedivizibile cu 3 este divizibila cu 3.