Question

Se considera 2013 numere ne divizibile cu 3. Aratati ca suma patratelor lor este divizibila cu 2013.
Indicatie:Se demonstreaza ca daca a este egal cu trei ori n plus unu sau aeste egal cu trei ori n plus doi ,atunci a la puterea a doua este egal cu trei ori m plus unu

Answer 1

Un numar natural nedivizibil cu 3 da restul 1 sau restul 2 la impartirea cu 3. 

De aici rezulta ca patratul lui da restul 1 la impartirea cu 3.

 Explicatia are loc folosind teorema impartirii cu rest.

Caz1) n=3*c+1 => n²=(3*c+1)(3*c+1) => n²=9*c²+6*c+1 => n²=3*(3*c²+2*c)+1

Caz2) n=3*c+2 => n²=(3*c+2)(3*c+2) => n²=9*c²+12*c+4 => n²=3*(3*c²+4*c+1)+1

Astfel,

N1²=3*C1+1

N2²=3*C2+1

.

.

.

N2013²=3*C2013+1

si insumand, obtinem ca N1²+N2²+ ... +N2013²=3*(C1+C2+ ... +C2013)+2013*1=3*(C1+C2+ ... +C2013+671).

Asadar, suma patratelor a 2013 nr. naturale nedivizibile cu 3 este divizibila cu 3.