Se consideră A, B, C și D patru puncte pe un cerc astfel încât AC și BD sunt diametre perpendiculare .Demonstrează că ABCD este pătrat .Vă rog să mă ajutați, nu mă pricep la cerc.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Patratul e definit ca dreptunghiul cu laturi egale, deci tr. sa ratam ca ABCD este dreptunghi. Dreptunghiul e definit ca paralelogramul ce are unghi drept, deci tr, sa aratam ca ABCD este paralelogram. Paralelogramul e definit ca patrulater cu laturi opuse paralele.
AC⊥BD, deci 4 unghiuri la centru sunt de 90°, ⇒si arcele corespunzatoare unghiurilor la centru, la fel sunt egale. Deci m(arcAB)=m(arcBC)=m(arcCD)=m(arcAD)=90°.
Arcelor egale le corespund coarde egale, ⇒AB=BC=CD=AD.
ΔAOB≡ΔCOD ca dreptunghice isoscele cu catete egale. ⇒∡BAO≡∡DCO dar ele sunt unghiuri alterne interne la dreptele AB si CD cu secanta AC, deci AB║CD. Dar daca laturile opuse a unui patrulater sunt paralele si congruente, rezulta ca ABCD este paralelogram.
∡ABC este inscris si se sprijina pe diametru, deci m(∡ABC)=90°. Atunci ABCD este dreptunghi. Deoarece laturile lui sunt egale, ⇒ABCD este patrat.
