Question

Se consideră dreptele de ecuații : d1: x - y+3 = 0 ; d2:5x - y - 21 = 0 ; d3: x+3y-1=0.
a) Să se afle coordonatele vârfurilor triunghiului determinat de d1,d2, d3.
b) Să se scrie ecuațiile medianelor triunghiului determinat de dreptele d1,d2, d3.
c) Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului determinat de dreptele d1, d2, d3 ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) Să se afle coordonatele vârfurilor triunghiului determinat de d1, d2, d3:

$d1: x - y + 3 = 0 => y = x + 3$

$d2: 5x - y - 21 = 0 => y = 5x - 21$

$d3: x + 3y - 1 = 0 => y = - \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$

d1 & d2:

$x + 3 = 5x - 21 \\ 4x = 24 = > x = 6 \\ y = 6 + 3 = > y = 9 \\ = > A(6,9)$

d2 & d3:

$5x - 21 = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \\ 15x - 63 = - x + 1 \\ 16x = 64 = > x = 4 \\ y = 5 \times 4 - 21 = > y = - 1 \\ = > B(4,-1)$

d1 & d3:

$x + 3 = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \\ 3x + 9 = - x + 1 \\ 4x = - 8 = > x = - 2 \\ y = - 2 + 3 = > y = 1 \\ = > C( - 2,1)$

b) Să se scrie ecuațiile medianelor triunghiului determinat de dreptele d1, d2, d3:

mijlocul laturii AB:

$( \frac{6 + 4}{2} ; \frac{9 + ( - 1)}{2} ) = > M(5;4)$

ecuația medianei CM:

$\frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{x - ( - 2)}{5 - ( - 2)} \\ \frac{y - 1}{3} = \frac{x + 2}{7} \\ 7y - 7 = 3x + 6 \\ 7y = 3x + 13 = > y = \frac{3}{7}x + \frac{13}{7}$

mijlocul laturii BC:

$( \frac{4 + ( - 2)}{2} ; \frac{( - 1 + 1)}{2} ) = > N(1;0)$

ecuația medianei AN:

$\frac{y - 9}{0 - 9} = \frac{x - 6}{1 - 6} \\ \frac{y - 9}{ - 9} = \frac{x - 6}{ - 5} \\ 5y - 45 = 9x - 54 \\ 5y = 9x - 9 = > y = \frac{9}{5}x - \frac{9}{5}$

mijlocul laturii AC:

$( \frac{6 + (- 2)}{2} ; \frac{9 + 1}{2} ) = > P(2;5)$

ecuația medianei BP:

$\frac{y - ( - 1)}{5 - ( - 1)} = \frac{x - 4}{2 - 4} \\ \frac{y + 1}{6} = \frac{x - 4}{ - 2} \\ - 2y - 2 = 6x - 24 \\ - 2y = 6x - 22 = > y = - 3x + 11$

c) Să se determine coordonatele centrului de greutate al triunghiului determinat de dreptele d1, d2, d3:

centrul de greutate al triunghiului se află la intersecția medianelor:

AN & BP:

$\frac{9}{5}x - \frac{9}{5} = - 3x + 11 \\ 9x - 9 = - 15x + 55 \\ 24x = 64 = > x = \frac{8}{3}$

$y = - 3 \times \frac{8}{3} + 11 = > y = 3$

$=>G(\frac{8}{3} ; 3)$