Question

Se consideră E(x)=(x+1)²-(x-1)², unde x este număr real
a)Arată că E(x)=4x,oricare ar fi numărul real x
bDemonstrează că numărul E(n³)-E(n) este divizibil cu 24, oricare ar fi numărul natural n
VA ROG MULT!
DAU COROANĂ PLUS 30 DE PUNCTE​

Answer 1

Răspuns:

a) E(x) = 4x

b) E(n³) - E(n) = 24k, k ∈ N ⇒ E(n³) - E(n) este divizibil cu 24

Explicație pas cu pas:

a)

E(x) = (x+1)² - (x-1)²

E(x) = x² + 2x + 1 - x² + 2x - 1

Se reduc termenii asemnea și rezultă

E(x) = 4x

b)

Ne folosim de rezultatul de la punctul a): E(x) = 4x

E(n³) = 4n³

E(n) = 4n

E(n³) - E(n) = 4n³ - 4n = 4n(n² - 1) = 4·n(n-1)(n+1) = 4(n-1)·n·(n+1)

Orice produs a 3 factori numere consecutive este divizibil cu 6, deoarece cel puțin un factor este par (adică divizibil cu 2) și unul dintre factori este divizibil cu 3.

În cazul nostru, avem factorii (n-1)·n·(n+1), care sunt numere consecutive.

Așadar, (n-1)·n·(n+1) = 6k, unde k ∈ N

Atunci 4(n-1)·n·(n+1) = 4·6k = 24k ⇒ E(n³) - E(n) este divizibil cu 24