Question

Se consideră expresia E(x) = (2 – 3x)² – 2(1 − 2x)(x + 3) − (2x − 1)(2x + 1) + 5x + 1, unde x € R. a) Arată că E(x) = 9x² + 3x. b) Demonstrează că E(n) se divide cu 6 pentru orice număr natural n.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

E(x) = (2 – 3x)² – 2(1 − 2x)(x + 3) − (2x − 1)(2x + 1) + 5x + 1 = 4 − 12x + 9x² – 2(x + 3 − 2x² - 6x) − (4x² − 1) + 5x + 1 = 4 − 12x + 9x² – 6 + 4x² + 10x − 4x² + 1 + 5x + 1 = (13x² − 4x²) + (15x − 12x) + (6 – 6) = 9x² + 3x

b)

E(n) = 9n² + 3n = 3n(n + 1)

E(n) este divizibil cu 3

n(n + 1) este divizibil cu 2 (produs de două numere consecutive) => E(n) este divizibil cu 2

E(n) este divizibil cu 2×3 => E(n) este divizibil cu 6 pentru orice număr natural n

q.e.d.