Question

Se considera expresia E(x)=(x + 1)² + (2x + 1)² + (1-x)(2x - 1)-3(3x-1)-4. a) Arătaţi că E(x) = 3x², pentru orice număr real x. b) Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care E(n)/n-3​

Answer 1

Răspuns:

n ∈ {-24, -6, 0, 2, 4, 6, 12, 30}

Explicație pas cu pas:

b)

Ne folosim de rezultatul de la punctul a: E(x) = 3x²

Condiția de existență a fracției este n-3 ≠ 0 ⇒ n ≠ 3

$\frac{E(n)}{n-3} = \frac{3n^{2} }{n-3} = \frac{3n^{2} - 27 + 27}{n-3} = \frac{3(n^{2}- 9) + 27 }{n-3} = \frac{3(n-3)(n+3)+27}{n-3} = 3(n+3)+\frac{27}{n-3}$

3(n+3) ∈ Z, așadar ne vom concentra atenția asupra fracției 27/(n-3).

Pentru ca fracția $\frac{27}{n-3}$ să fie număr întreg, n-3 trebuie să fie divizor întreg al lui 27.

Divizorii întregi ai lui 27 sunt ±1; ±3; ±9 și ±27

Luăm pe rând toate variantele:

n - 3 = 1 ⇒ n = 4

n - 3 = -1 ⇒ n = 2

n - 3 = 3 ⇒ n = 6

n - 3 = -3 ⇒ n = 0

n - 3 = 9 ⇒ n = 12

n - 3 = -9 ⇒ n = -6

n - 3 = 27 ⇒ n = 30

n - 3 = -27 ⇒ n = -24

În concluzie, n ∈ {-24, -6, 0, 2, 4, 6, 12, 30}

(am trecut valorile în ordine crescătoare)