Question

Se considera f:(0,∞)->R
f(x)=lnx
a) Aratati ca (p+1)$\int\limits^x_1 {f ^{p}(t) } \, dt+ \int\limits^x_1 {f ^{p+1}(t) } \, dt=xf^{p+1}(x)$ , ptr orice x>=1 si p>0

Answer 1

Prima integrala se trece (p+1) in interiorul integralei se inmulteste in acelasi timp cu t si 1/t .. apoi se scrie integrala sub forma de t(ln^(p+1)(t))'  ( Aduci la forma unei derivate in integrala ) 
Si ramane tln^(p+1)(t) de la 1 la x - integrala de la 1 la x din ln^(p+1)(t)..
De aici este usor doar inlocuiesti la prima si o sa se anuleze partea a 2-a cu cea din ipoteza si va ramane xln^(p+1)x care este chiar xf^(p+1)(x)