Question

Se considera f:R->R, f(x)=x+2^x
Sa se arate ca functia este inversabila.

Answer 1

Pentru ca o functie sa fie inversabila, ea trebuie sa fie bijectiva. O functie este bijectiva daca este injectiva si surjectiva.
O functie este injectiva daca este strict monotona pe domeniul de definitie (in cazul de fata, pe R).
f'(x)=(x+2^x)'=1+ln2*2^x
Functia exponentiala este mereu pozitiv. Logaritmul din orice numar este mereu pozitiv. Deci doua numare pozitive adunate cu un al treilea numar pozitiv este un numar pozitiv. Deci avem ca: f'(x)>0, oricare ar fi x din R. Daca derivata unei functii este strict pozitiva, atunci functia este strict crescatoare.
Functia f fiind strict crescatoare, ea este injectiva.
O functie este surjectiva daca functia este continua si limitele la capetele domeniului de definitie sunt chiar capetele domeniului.
lim x->inf f(x)=lim x->inf (x+2^x)=inf
lim x->-inf f(x)=lim x-> -inf (x+2^x)=-inf+2^-inf=-inf+1/2^inf=-inf.
Deci observam ca limitele coincid cu capetele domeniului de definitie. Cum functia f este data de o singura relatie si nu avem puncte scoase din domeniul de definitie, functia f este surjectiva.
Daca functia f este injectiva si surjectiva, atunci functia este bijectiva, deci si inversabila.