Question

Se considera funcția

Answer 1

$a) \ O \ functie \ este \ inversabila \ daca \ bijectiva.\\ \\ O \ functie \ e \ bijectiva \ daca \ e \ injectiva \ si \ surjectiva.\\ \\ f(x) \ injectiva \ daca \ f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\\ \\ x_1^3-5=x_2^3-5 \Leftrightarrow x_1^3=x_2^3 \Leftrightarrow x_1=x_2 \\ \\ \Rightarrow f(x) \ injectiva$

$f(x) \ este \ surjectiva \ daca \ pentru \ orice \ y \in \mathbb{R}, \ exista \ x \in \mathbb{R} \ astfel \ incat \ f(x)=y\\ \\ x^3-5=y \Rightarrow x=\sqrt[3]{y+5}, \ deci \ x \ exista \ oricare \ ar \ fi \ y \in \mathbb{R} \Rightarrow f(x) \ este \ surjectiva$

$Cum \ f(x) \ este \ injectiva \ si \ surjectiva, \ rezulta \ ca \ este \ bijectiva, \ deci \ inversabila.\\ \\ \\ \\ b) \ x^3-5=y \Rightarrow x=\sqrt[3]{y+5}\\ \\ Inlocuind \ pe \ x \ cu \ y, \ obtinem \ functia \ inversa:\\ \\ y=\sqrt[3]{x+5}\\ \\ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x+5}$